تمهيد
تحظى التطبيقات الحافظة للبنى الجبرية بمكانة مركزية في نظرية الجبر الحديث، إذ تكشف هذه التطبيقات عن الروابط العميقة بين البُنى الجبرية المختلفة وتساعد على تصنيفها وفهم خصائصها، ويأتي في مقدمة هذه التطبيقات ما يعرف بتطبيقات جوردان التي تحفظ جداء جوردان بين العناصر، والتطبيقات التي تحفظ الجداء الثلاثي لجوردان، وقد تناولت دراسات سابقة كثيرة خصائص هذه التطبيقات في جُبور خاصة مثل جُبور المؤثرات القياسية وجُبور المصفوفات، وبيّنت أن بعضها يتمتع بخاصية الجمعية أو الضربية رغم عدم افتراضها ابتداء في التعريف، غير أن الصورة العامة لهذه التطبيقات على الجُبور الأولية ما تزال تحتاج إلى مزيد من التوحيد والتعميم، وهو ما تسعى هذه الدراسة إلى تحقيقه عبر نتائج تجمع ما تفرق في الأعمال السابقة وتوسّع نطاقها
أولًا: أهداف الدراسة ومنهجيتها
تهدف الدراسة إلى فحص التطبيقات التقابلية بين الجُبور التي تحفظ جداءات من نمط جوردان، وبصورة أدق تنظر الدراسة في تطبيقات تحفظ جداء جوردان، أي تحقق أن صورة مجموع الجداء في الاتجاهين تساوي مجموع جداء الصور في الاتجاهين، وتنظر كذلك في الصورة الأعم وهي التطبيقات التي تحفظ الجداء الثلاثي لجوردان المعرف بتركيب يجمع جداء ثلاثة عناصر بترتيبين متعاكسين، واعتمدت الدراسة منهج البرهان النظري في الجبر المجرد، فانطلقت من فرضيات محددة على الجبر موضع الدراسة، أبرزها أن يكون جبرًا أوليًا ذا وحدة ويشتمل على عنصر جامد غير تافه، وهو العنصر الذي يساوي مربعه ذاته، ثم وظّفت أدوات نظرية الحلقات الأولية والجُبور لاستنتاج الخصائص البنيوية للتطبيقات موضع البحث خطوة بعد خطوة
ثانيًا: أبرز النتائج
توصلت الدراسة إلى نتيجتين رئيسيتين، أولاهما (1) إذا كان الجبر جبرًا أوليًا ذا وحدة ويحتوي على عنصر جامد غير تافه، وكان التطبيق تقابليًا من النمط الحافظ لجداء جوردان أو لجدائه الثلاثي، فإن هذا التطبيق يكون جمعيًا بالضرورة، أي إنه يحفظ عملية الجمع رغم أن حفظها لم يكن مفترضًا في تعريفه ابتداء، وتوسّع هذه النتيجة نتائج الجمعية المعروفة سابقًا لتطبيقات جوردان وتطبيقات جوردان الثلاثية على جُبور المؤثرات القياسية وجُبور المصفوفات، وثانيتهما (2) إذا كان الجبران كلاهما أوليين، فإن أي تطبيق تقابلي يحفظ الجداء الثلاثي لجوردان يكون إما ضربيًا أو مضادًا للضرب، وبعبارة مكافئة يكون هذا التطبيق تماثلًا أو تماثلًا مضادًا بين الجبرين، فلا توجد صور وسيطة أخرى ممكنة لهذه التطبيقات في هذا الإطار
ثالثًا: دلالات الدراسة وتطبيقاتها
تتمثل دلالة هذه النتائج في أنها توحّد أعمالًا سابقة متفرقة حول تطبيقات جوردان وتطبيقات جوردان الثلاثية والتحويلات الحافظة للبنية على الحلقات الأولية وجُبور المؤثرات القياسية، وتعمّمها في صياغة واحدة أوسع نطاقًا، فهي تبين أن فرض حفظ جداءات جوردان وحده كافٍ لفرض بنية صارمة على التطبيق تجعله جمعيًا ثم ضربيًا أو مضادًا للضرب، وهو ما يختصر كثيرًا من الجهد في دراسة هذه التطبيقات وتصنيفها، ويفيد هذا الإطار الباحثين في نظرية المؤثرات والجبر غير التبادلي عند التعامل مع التحويلات التي تحفظ خصائص جزئية من البنية، إذ يصبح بوسعهم الاستناد إلى نتائج عامة بدل إعادة البرهان في كل حالة خاصة
وتبرز قيمة نتيجتي الدراسة عند مقارنتهما بما سبقهما من أعمال، فقد كانت جمعية تطبيقات جوردان تثبت عادة في أصناف خاصة مثل جُبور المصفوفات وجُبور المؤثرات القياسية ببراهين مستقلة تستغل خصائص كل صنف على حدة، أما هنا فتثبت الجمعية في إطار عام يشمل هذه الأصناف وغيرها متى توفرت شروط محدودة هي الأولية ووجود الوحدة والعنصر الجامد غير التافه، وبالمثل كانت الثنائية بين الضربية وضدية الضرب نتيجة متفرقة في دراسات الحلقات الأولية والجُبور الخاصة، فجاءت هذه الدراسة لتؤكدها للتطبيقات الحافظة للجداء الثلاثي بين جبرين أوليين أيًا كانا، وبهذا يتحول التشتت السابق في الأدبيات إلى نظرية موحدة يمكن الإحالة إليها مباشرة، ويتقلص الحيز الذي قد توجد فيه تطبيقات شاذة لا تحفظ الجمع أو الضرب
وخلاصة القول إن التطبيقات التقابلية الحافظة لجداء جوردان وجدائه الثلاثي على الجُبور الأولية ليست تطبيقات حرة بلا قيود، بل تحكمها صرامة بنيوية تجعلها جمعية وضربية أو مضادة للضرب، وبذلك تقدم الدراسة إطارًا موحدًا يربط بين نتائج متفرقة في أدبيات تطبيقات جوردان ويفتح الطريق أمام تعميمات لاحقة على أصناف أخرى من الجُبور والحلقات
