بعض المسائل المتعلقة بفراغات بنخ ذوات الترتيب والمؤثرات المعرفة عليها

نظرية المخروط وفراغات  Riesz  نظمت في بداية القرن التاسع عشر ولعبت دورا هاما في تطوير وحل كثير من المشاكل في مجالات مختلفة في علوم الرياضيات مثل الاقتصاد [31]  والميكانيكا [37, 39] و نظريات التحكم [6 , 21] وبحوث العمليات [27,9] و نظرية المؤثرات [ 16,22,36,10] ... إلخ . وذلك من خلال أبحاث كثيرة من علماء الرياضيات مثل  F. Riesz [34], H. Freudenthal [14], L.V. Kantrovich [18], G. Birkhoff ’s [ 4], T. Ando [2], N. Dunford , J. Schwartz [12], M.G. Krein and M.A. Rutman [23], M.A. Krasnosel'skij [20,21,22] وآخرون .

من المعروف أنة  إذا كانت  """" هي علاقة  خطية على فراغ  بانخ الحقيقي  E   (سنقول إن علاقة الترتيب الجزئي   هي  علاقة  خطية على فراغ  بانخ الحقيقي  E إذا تحققت الشروط الآتية :

x + z    y + z   لجميع قيم x    y  و z E   ,   a.x   a.y لجميع قيم x    y  و  a   0وأيضا  a.x   a.y  لجميع قيم x    y  و        a  0 حيث   x,y E) فإن   الفئة  K = { x E : x   q}  , حيث q  هي العنصر المحايد الجمعي  في E   تكون مخروط  في E  (سنقول إن المجموعة الجزئية غير التافهة K  من فراغ  بانخ   E إذا تحققت الشروط الآتية :   K  مجموعة مغلقة  و  K+ K  K, .K  K  لجميع  قيم    , حيث ,   0  وأيضا -K  K = {q }  ) وسوف نسمى هذا المخروط الذي نشأ من علاقة الترتيب الجزئي    في E  بالمخروط الطبيعي. وعلاوة على ذلك إذا كان  K  هو مخروط  في E  فإنة يمكن تعريف علاقة ترتيب جزئي في  E   كما يلي :    x    y   حيثx,y E      إذا وفقط إذا كان y – x   K    .

يمكن تلخيص المناقشة السابقة كما يلى  :  إذا كان  E هو فراغا خطيا مرتبا جزئيا بعلاقة الترتيب الجزئي    فإنه يمكن تعريف مخروط فيه من هذه العلاقة ويكون هذا الفراغ  E  فراغا ذا مخروط والعكس صحيح.

وكان الهدف من هذه الدراسة هو الاهتمام  بموضعين أساسيين في مجال نظرية المخروط : الموضوع الأول هو تعميم لنظرية M.G. Krein   و M.A.Rutman  [23]  والموضوع الثاني عمل دراسة لبعض خصائص المخروط في  فراغات  Riesz .

في  سنه  1948 أثبت العالمان  M.G. Krein  و M.A.Rutman   الآتي :

إذا  كان  K  E   هو مخروطا صلبا في فراغ بانخ  E  وكان L  E  هو فراغا جزئيا خطيا من E  بحيث يحتوى على الأقل على  نقطة داخلية واحدة من K  فأن آي دالة  خطية متصلة موجبة  fo  على  المخروط K  L = KL  في L (أي أن fo  : L       دالة خطية موجبة بحيث fo (x)  0  لجميع قيم (  x  KL = KL  يمكن عمل لها امتداد دالة خطية متصلة  f  على E  تكون موجبة على  K (أي أنه يمكن إيجاد دالة f : E      خطية ومتصلة بحيث f(x)  0  لجميع قيم x  K  و fo (x) = f(x)  لجميع قيم  L x  ).

نعلم أن المخروط K  في فراغ بانخ    حيث 1  p <    المعرف كما يلى :

K = { x = ( xi  )    : xi   0  ,  i =1,2,3,… }  هو مخروط ليس صلبا أي أنه لا توجد فيه نقطة واحدة داخلية وبالتالي لا يمكن تطبيق النظرية  السابق ذكرها عليه و من هنا كان هدفنا في دراسة الموضوع الأول من هذه الرسالة هو إيجاد شروط أخرى لعملية اللامتداد مع المحافظة على الموجبية لا يعتمد على المخروط سواء كان صلبا أم لا  وهذا تم دراسته في الفصل الثاني من هذه الرسالة.

وتتكون هذه الرسالة من ثلاثة  فصول يمثل الفصل الأول الفصل التمهيدي للتعريفات والمبادئ اللازمة للرسالة ، أما الفصل الثاني فيحتوى على نتائج ونظريات جديدة لدراسة الموضوع الأول  الذي سبق ذكره  في هذا الملخص . ولقد قبلت نتائج هذا الفصل للنشر في مجلة الجمعية المصرية للعلوم الرياضية والفيزيائية وأما الفصل الثالث فيحتوى على نتائج ونظريات للمخروط في فراغات    Riesz."