صياغه لاجرانج لنظريات المجال الهندسية

ملخص الدراسة:

الرسالة تتكون من ثلاثة أبواب وملحق واحد وقائمة المراجع

الباب الأول:

 داله لا جرانج في هندسة ريمان: ""النظرية النسبية العامة""

في هذا الباب درسنا طريقتين مختلفتين لاستنتاج معادلات المجال باستخدام دالة لاجرانج والطريقتان هما ""قاعدة اقل فعل"" وطريقة ""دولان- مكري"". وقد تم تطبيق الطريقتين في هندسة ريمان، ولقد اتضح أن الطريقتين تؤديان الى نفس المجموعة من معادلات المجال. والمثال الذي تم استخدامه هنا هو معادلات مجال ""النظرية النسبية العامة" "لإيجاد معادلات المجال باستخدام الطريقتين المنوه عنهما نحتاج الي اشتقاق دالة لاجرانج وهذه الدالة يجب أن تكون علي صورة كثافة قياسية مشتقة من ممتدة الانحناء. ولقد أتضح أن استخدام التعريف القياسي وغير القياسي لممتدة الانحناء في هندسة ريمان متكافئتين لكنهما ليس كذلك في هندسات أخرى.

الباب الثاني:

 داله لاجرانج في هندسة التوازي المطلق: ""النظرية المجالية العامة""

في هذا الباب ناقشنا كيف أن الطريقتين المستخدمتين في الباب الأول قد تم تطويرهما بواسطة ميخائيل وونس لكي يمكن استخدامهما في هندسة ""التوازي المطلق"". لقد استعرضنا باختصار، في هذا الباب، القواعد الأساسية لهندسة ""التوازي المطلق"" وتبين أن هذه الهندسة اعم من هندسة ""ريمان"". المثال المستخدم في هذا الباب هو ""النظرية المجاليةالعامة"" التي وضعت بواسطة ميخائيل وونس سنة (1977). دالة لاجرانج المستخدمة في هذه النظرية هي كثافة قياسية مستنتجة من ممتدة الانحناء باستخدام التعريف غير القياسي. تم تطبيق الطريقتين علي دالة لاجرانج المختارة ووجد أن الطريقتين تعطيان نفس معادلات المجال. ولقد قمنا بمناقشة الجزء المتماثل والجزء غير المتماثل لمعادلات المجال ووجدنا انه يمكن استخدامها لوصف التثاقل والكهرومغناطيسية على التوالى.

الباب الثالث:

 داله لاجرانج جديدة في هندسة التوازي المطلق: ""مجموعة جديدة من معادلات المجال""   

في هذا الباب قد قمنا بتوضيح كيفية ان التعريف القياسي وغير القياسي لممتدة الإنحناء تعطي نتائج مختلفة في هندسة ""التوازي المطلق"". من الاهمية ان نتعرف علي ما سوف ينتج، من تطبيق الطريقتين المشار اليهما في الباب الأول، علي التعريف القياسي لممتدة الإنحناء. كما اتضح من الباب الثاني ان الطريقتين المستخدمتان تعطيان نفس معادلات المجال ولقد اشتققنا هنا معادلات جديدة للمجال. ولقد قمنا باستعراض طريقة الاشتقاق باستخدام طريقة ""دولان- مكري"" بإستفاضة وحيث أن الطريقتين متكافئتان فقد استعرضنا تطبيق طريقة ""اقل فعل"" لإشتقاق المعادلات الجديدة بإيجاز. ولقد قمنا بإختبار المعاني الفيزيائية للاجزاء المختلفة من معادلات المجال، وقد أتضح أن النظرية الناتجة تمثل مجالات التثاقل فقط فى الحالة الخطية وحيث اتضح من اختبار الجزء غير المتماثل من معادلات المجال غياب الكهرومغناطيسية فى حالة المجالات الضعيفة. لقد تم التعليق علي نتائج هذه الرسالة في نهاية هذا الباب.

الملحق:

 المشتقات الضرورية لدوال هاملتون.

هذا الملحق نسخة من ملحق ""ب"" في رسالة الدكتوراه ونس (1975) وهذا الملحق يحتوي علي المشتقات الضرورية لتطبيق الطريقتان المنوه عنهما، في الباب الأول، في هندسة ""التوازي المطلق.