"نظريات زمرة لي وتطبيقاتها في حل مسائل فى الفيزياء والهندسة

ملخص الرسالة:

نظريات

 "" زمرة لي وتطبيقاتها في حل مسائل في الفيزياء والهندسة" "

لقد زاد الاهتمام – في العقود الأخيرة – بدراسة العديد من الظواهر الفيزيائية والهندسية والتي أمكن التعبير عنها في صورة معادلات تفاضلية – عادية وجزئية، خطية وغير خطية – ومحاولة إيجاد الحلول لهذه المعادلات. وكان من بين المعادلات التي تم دراستها معادلة بولت زمان والتي تصف انسياب الغاز، معادلة كلاين جوردون التكعيبية وهي تمثل المعادلة الموجية غير الخطية في المستوي. كما كان من المعادلات التي تم دراستها أيضا معادلة أينشتين لنظرية الجاذبية، ومعادلات يانج – ميلز لنظريات الجسيمات الأولية، ومعادلات نافيير- ستوكس أو معادلات أويلر في الهيدروديناميكا وهكذا.............

إن الهدف الأساسي لهذه الرسالة هو دراسة نظريات زمرة لي – الطرق المختلفة المنبثقة عنها – في حل مسائل في الفيزياء والهندسة وتتكون الرسالة من أربعة أبواب كالتالي:

الباب الأول: وقد ركزنا فيه علي عمل مسح شامل للتطورات المختلفة للتقنيات التي استخدمت في الأبواب الأخرى- من الباب الثاني إلي الباب الرابع – وذلك للحصول علي حلول مضبوطة للمعادلات التفاضلية (العادية والجزئية) الخطية وغير الخطية لأنظمة فيزيائية وهندسية.

الباب الثاني: وقد استعرضنا فيه تطبيق الطريقة التماثلية علي الصورة العامة لكل من معادلتي بورجر ومسألة الموجة الطولية المنتظمة وكان ذلك كما يلي:

أولا: كان لتطبيق الطريقة التماثلية علي معادلة بورجر في صورتها العامة - خلال أخذ اختيارات مختلفة للدالة الاختيارية المحتواة في المعادلة قيد البحث – مما مكنا من الحصول علي نماذج من حلول مختلفة، بعضها حلول مضبوطة والبعض الأخر في شكل دالة الخطأ.

ثانيا: أدي تطبيق الطريقة التماثلية علي الصورة العامة لمعادلة الموجة الطولية المنتظمة إلي حلول مضبوطة جديدة في بعض الحالات وفي حالات أخري تم اختزال المعادلة(قيد البحث) إلي صور تكاملية بعضها في شكل دوال زائدية وأخري أخذت صورة معادلة ابل من التصنيف الثاني.

الباب الثالث: وفيه تم الحصول علي حلول تماثلية وصور مختزلة لمعادلة كلومجروف – سبيجل – سيفاشينسكي والتي تعتبر نموذج للقياسات الكبيرة لسريان مائع لزج في بعدين تحت تأثيرمجال قوة خارجية دورية.

وقد كان التعامل مع معادلة كلومجروف – سبيجل – سيفاشينسكي من خلال تطبيق الطريقة التماثلية بالإضافة إلي طريقة كلاركسون & كروسكال للحصول علي حلول مضبوطة أو اختزالات لها. وقد نتج من خلال الحالة الأولي – تصنيفات جبر لي – أربعة حالات تمكنا من خلالها الحصول علي حلول مضبوطة إلي جانب إختزالات تماثلية إلي معادلتين تفاضليتين عاديتين. وكذلك في الحالة الثانية أدي تطبيق الطريقة المباشرة إلي اختزال معادلة كلومجروف – سبيجل – سيفاشينسكي إلي معادلة تفاضلية عادية.

كما تضمن هذا الباب أيضا دراسة معادلة فيتزاهوف – ناجومو عن طريق الطريقتين المباشرة والموجية لجيفري&واكسو للحصول علي حلول تماثلية مضبوطة في الحالة الأولي وحلول موجية مضبوطة في الحالة الثانية. وكان من النتائج الهامة لهذه الدراسة – في الحالة الأولي – اختزال معادلة فيتزاهوف ناجومو إلي صورة ابل والحصول علي مجموعة جديدة من الحلول الموجية المضبوطة – في الحالة الثانية.

الباب الرابع: كان التركيز في هذا الباب علي إيجاد الحلول التماثلية لأنظمة من المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية أي أنه – وبتفصيل أكثر – قد تم تطبيق الطريقة التماثلية علي نظامين من المعادلات الجزئية غير الخطية، الأول لدرينفيلد – سكولوف –ويلسون والثاني نظام المعادلات الموجية التكاملية المشتتة من أجل إيجاد حلول مضبوطة لها ففي حالة النظام الأول تم الحصول علي حلين من النوع الموجي وحل ثالث في صورة تكاملية أمكن التعبير عنها بدلالة الدوال الفوق ناقصية للمعادلات التكاملية المشتتة في بعدين. ولجعل دراستنا أكثر تعمقا تم استخدام طريقة جيفري&واكسو من أجل الحصول علي مجموعة من الحلول الموجية لنظام المعادلات الموجية التكاملية المشتتة في بعدين.

وفي النهاية من بين النقاط المقترح أن يتم بحثها فيما بعد:

-محاولة إيجاد الحلول التماثلية لأنظمة من المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية والتي تتكون من أكثر من معادلتين وذلك بتطبيق الطرق المختلفة المنبثقة عن زمرة لي لحل هذه الأنظمة.

- تطبيق الطريقة التماثلية علي معادلة بورجر في صورتها العامة مع أخذ صور مختلفة أخري للدالة الإختيارية مثل (الدوال المثلثية – الدوال الزائدية – الدوال اللوغاريتمية – الدوال الأسية وهكذا......... )

- تطبيق الطرق التي تم استعراضها – خلال البحث – علي المعادلات التفاضلية العادية ومحاولة إيجاد عدد من الحلول التماثلية لهذه المعادلات.

وأخيرا – وليس أخرا- نسأل الله العلي القدير أن يعلمنا ما ينفعنا وأن ينفعنا بما علمنا وأن يتقبل منا ومن كل من ساهم في إخراج هذا العمل إنه نعم المولي ونعم النصير.